奥数对称题的巧解

2023-08-11   


  一、关于x=a对称型。

  例1:设A、B为x轴上两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程为_______________。

  巧解:由题可知直线PA与直线PB关于x=2对称,

  ∵PA直线的方程为x-y+1=0 即(x-2)-y+3=0,

  ∴PB直线的方程为(2-x)-y+3=0即x+y-5=0。

  总结:一般的,求与直线ax+by+c=0关于x=a0对称的直线方程,先写成a(x-a0)+by+c+aa0=0形式,再写成a(a0-x)+by+c+aa0=0形式,化简后即是所求值。

  应用:求与直线3x+4y-12=0关于x=-1对称的直线方程为_____________。

  ∵3x+4y-12=0写成3(x+1)+4y-15=0,∴直线方程为-3(x+1)+4y-15=0即3x-4y+18=0

  二、关于y=b对称型。

  例2:直线l1与直线l2关于y=3对称,已知l1的方程为x+y-6=0,则l2的方程为________。

  巧解:∵l1的方程为x+y-6=0即x+(y-3)-3=0,

  ∴l2的方程为x+(3-y)-3=0即x-y=0

  总结:一般的`,求与直线ax+by+c=0关于y=b0对称的直线方程,先写成ax+b(y-b0)+c+bb0=0形式,再写成ax+b(b0-y)+c+bb0=0形式,化简后即是所求值。

  应用:求与直线4x+5y-20=0关于y=-2对称的直线方程为_____________。

  ∵4x+5(y+2)-30=0 ∴直线方程为4x-5(y+2)-30=0即4x-5y-40=0.

  三、关于y=x对称型。

  此类型说明白点就是求反函数,所以用求反函数的方法做,一般情况下,较为简便。

  四、关于y=-x对称型。

  例3:直线l1与直线l2关于y=-x对称,已知l1的方程为x+y+2=0,则l2的方程为________。

  巧解:∵l1的方程为x+y+2=0 ∴l2的方程为-y+(-x)+2=0即x+y-2=0

  总结:一般的,求与直线ax+by+c=0关于y=-x对称的直线方程,只需把x换成-y,把y 换成-x,化简后即是所求值。

  应用:求与直线3x+4y-12=0关于y=-x对称的直线方程为_____________。

  ∵3x+4y-12=0, ∴3(-y)+4(-x)-12=0即4x+3y+12=0。

  五、关于原点对称。

  例3:直线l1与直线l2关于原点对称,已知l1的方程为x-y+3=0,则l2的方程为________。

  巧解:∵l1的方程为x-y+3=0 ∴l2的方程为(-x)-(-y)+3=0即x-y-3=0。

  总结:一般的,求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线方程,只需把x换成-x,把y 换成-y,化简后即是所求值。

  应用:求与直线3x+4y-12=0关于原点对称的直线方程为_____________。

  ∵3x+4y-12=0, ∴3(-x)+4(-y)-12=0即3x+4y+12=0。



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